Логические парадоксы

Часто формально-логические парадоксы называют теоретико-множественными, потому что они возникают в теории множеств — разделе логической науки, который описывает наши способы образования понятий и операции над ними. Попытки рассуждать о любых множествах, в том числе о бесконечных и аномальных, зачастую приводят к неразрешимым противоречиям. В этой части урока мы рассмотрим несколько примеров таких противоречий и начнем с «парадокса лжеца».

🤥 «Все критяне — лжецы». Эпименид Кносский (7–6 века до нашей эры), судя по всему, был первым мыслителем, который осознанно сформулировал самоопровергающее утверждение. Он утверждал, что «все критяне — лжецы», хотя сам при этом был критянином. Получается, что если его суждение истинно, то оно автоматически ложно.

💡 Стоит отметить, что это еще не настоящий парадокс, а только его половина. Суждение Эпименида не может быть истинным, но оно вполне может быть ложным: неправда, что все критяне лжецы. То есть некоторые критяне не лжецы (разумеется, исключая самого Эпименида — про него мы уже установили, что он лжец).

🤷🏻‍♂️ «Я лгу». Эвбулид Милетский (4 век до нашей эры) придал парадоксу лжеца законченную форму. Он сказал: «Я лгу». Это высказывание истинно, только если оно ложно, и ложно, только если оно истинно. В результате совершенно невозможно однозначно установить, что же сказал Эвбулид — правду или ложь?

🔄 «Циклический лжец». В более поздней философской литературе часто встречается так называемый циклический лжец — разновидность парадокса Эвбулида, где вместо одного самореферентного суждения используются два суждения, ссылающихся друг на друга, причем одно утвердительное, а другое — отрицательное. Например:

🔹 Платон говорит: «Сократ лжец». Сократ говорит: «Платон прав».

➡️ Здесь образуется бесконечный цикл: первое суждение, отрицая второе, фактически утверждает собственную ложность; второе суждение, подтверждая первое, тоже фактически утверждает собственную ложность.

Посмотрим на еще один формально-логический парадокс — парадокс Рассела или «парадокс брадобрея».

🧩 Парадокс Рассела назван так в честь английского логика и философа Бертрана Рассела (1872–1970). В 1901 году Рассел обнаружил, что существовавшая в то время версия логического обоснования математики, придуманная Готлобом Фреге, содержит фатальную уязвимость. Все дело в том, что она допускала образование «множества всех множеств».

🍇 Множество всех множеств. Рассел заметил, что множество* всех множеств само является множеством, а значит, должно включаться само в себя в качестве элемента. Само по себе это не страшно, но приводит нас к необходимости поделить все множества на нормальные (которые не включают себя в качестве элемента, например, множество столов не является столом) и ненормальные (которые включают себя в качестве элемента, например, каталог всех каталогов сам является каталогом).

Множество — это объединение каких-либо объектов по определенному признаку. При этом объектами считается все, на что может быть направлена наша мысль — в том числе и множества.

🔢 Множество всех нормальных множеств. Следующая мысль Рассела была удивительно проста, но имела далеко идущие последствия. Можем ли мы образовать множество всех нормальных множеств?

📝 Допустим, мы такое множество образовали — назовем его К. Очевидно, что оно само либо является нормальным, либо нет. Если оно является нормальным, то, по определению К, оно включается само в себя. А тогда оно сразу становится ненормальным.

🔗 Хорошо, пусть К — ненормальное множество. Тогда оно не должно содержаться в К (ведь в него входят только нормальные множества). В тот же момент оно опять становится нормальным. И так до бесконечности.

🧔🏻 «Парадокс брадобрея». Сам Рассел предложил популярный вариант своего парадокса и назвал его «парадокс брадобрея». Представьте, что в деревне есть только один брадобрей. Он должен брить всех тех и только тех, кто не бреется сам. Должен ли он брить себя самого?

🪒 Допустим, что, встав утром, брадобрей трогает щетину и решает побриться. Другого брадобрея в деревне нет, так что приходится ему это делать самому. В тот же момент он становится человеком, который бреется сам, а таких людей ему брить запрещено.

🙅🏻‍♂️ Он откладывает бритву в сторону. Но при этом моментально меняет свой статус — теперь, очевидно, он стал человеком, который не бреется сам. А всех таких людей брить он обязан. Неразрешимое противоречие!

📌 Этот парадокс стимулировал математиков и философов 20 века разрабатывать неклассические модели рассуждения, а также уточнять понятия «множество», «элемент», «множество множеств».

Бертран Рассел в кресле брадобрея: «Ты бреешь всех, кто не бреется сам? Что это значит? Кто бреет тебя самого, черт подери?»

Великий немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) в 1924 году сформулировал забавный парадокс, касающийся бесконечных множеств.

🏨 Бесконечный отель Гильберта. Представьте себе отель с бесконечным, но счетным множеством комнат (то есть их можно пронумеровать натуральными числами). Представим, далее, что в каждой из этих комнат находится постоялец. Можно ли подселить в этот отель кого-то еще? Ответ вас удивит!

🛎 Если бы речь шла об обычной гостинице с конечным количеством комнат, совершенно ясно, что мы никого подселить не смогли бы. Чтобы подселить нового человека, нам придется освободить одну комнату, а нам некуда переместить жильца из нее.

🚪 Но если комнат бесконечно много, то мы можем проделать такую процедуру: переселим гостя из комнаты № 1 в комнату № 2, гость из комнаты № 2 перейдет в комнату № 3 и так далее. В общем случае гость из комнаты n переселится в комнату n+1. Таким образом, мы освободим первую комнату, в которую можно будет поселить нового гостя. Поскольку комнат в нашем отеле столько же, сколько натуральных чисел, для любой комнаты n найдется комната n+1, что и требовалось доказать.

🤯 Более того, усиленная версия парадокса гласит, что в бесконечный отель, забитый под завязку, можно подселить бесконечное множество новых постояльцев! Получается, что бесконечное множество больше себя самого?

📌 Этот и подобные ему парадоксы бесконечности помогли математикам, логикам и философам уточнить смысл понятий «больше» применительно к бесконечным объектам, что открыло путь для дальнейшего развития точных наук и обоснования математики.