Логические парадоксы

Философия 20 века широко использует представление об ограниченной рациональности. Она берет за точку отсчета не идеализированную рациональность «с точки зрения вечности», а реального мыслящего субъекта, которому приходится принимать решения в условиях ограниченного времени, неполной и противоречивой информации. Рассмотрим несколько парадоксов, связанных с такими ситуациями.

🎲 Парадокс трех узников. Эта задача была опубликована Мартином Гарднером в 1959 году. Это не парадокс в строгом смысле слова, потому что у задачи есть однозначное математическое решение. Но с ее помощью можно понять, какие трудности стоят перед логиками, математиками и экономистами при моделировании решений рациональных субъектов в условиях неполной информации.

⛓ Пусть у нас есть трое заключенных — A, B и С. Все они приговорены к смертной казни и ожидают ее в одиночных камерах. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и выписывает ему помилование. Стражник, охраняющий заключенных, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого.

❓ Заключенный A просит стражника дать ему хотя бы слабую подсказку: «Конечно, ты не можешь сказать мне, помилован я или нет. Но ведь ты вправе сказать мне что-то о других заключенных — назови имя того из них, кто точно будет казнен».

🗯 Стражник сообщает заключенному A, что казнен будет B. Заключенный A рад это слышать, поскольку считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3, как была раньше. На радостях A тайно делится этой информацией с С. Заключенный С также рад это слышать, но по другой причине. Он полагает, что вероятность выживания заключенного А все еще 1/3, а вот его собственная вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть? Кто прав — А или С?

🙅🏻‍♂️ Правильный ответ заключается в том, что на самом деле A не получил никакой информации о собственной судьбе. Действительно, вероятность выживания В была изначально 1/3, а после сообщения тюремщика упала до 0. Но это не означает, что теперь шансы А и С равномерно повысились до 1/2. Вспомним, что именно сказал тюремщик — он сообщил А имя того из двух других (В и С) заключенных, кто точно будет казнен. Получается, что его ответ дает нам информацию о соотношении шансов В и С на выживание, но никак не касается А. До ответа вероятность выживания В и С была 2/3 на двоих. Теперь она стала 2/3 на одного — а именно, С. Вероятность выживания А никак не изменилась.

❓ Для сравнения: если бы А попросил «скажи мне имя того из нас троих, кто точно будет казнен», то ответ тюремщика «В» повысил бы шансы А и С в равной степени. Но наш мозг не склонен придавать значение таким мелочам в условиях задачи, не правда ли?

📌 Итак, задача имеет однозначное решение. В то же время, контринтуитивность этого решения хорошо иллюстрирует, насколько сложны связи между нашими гипотезами и фактами, которые их подкрепляют или ослабляют. Исследование этих связей дало сильный импульс развитию методологии науки и теории принятия решений.

Рассмотрим парадокс Монти Холла. Эта задача похожа на предыдущую и тоже имеет однозначное математическое решение. Однако 92% людей дают на нее неправильный ответ. Более того, многим людям бывает сложно принять правильное решение даже после того, как его им рассказали. Популярность пришла к этой задаче после публикации в книге Мартина Гарднера.

🚪Парадокс Монти Холла. Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими — козлы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1. После этого ведущий, который знает, что находится за дверями, говорит: «Сейчас я открою одну из оставшихся дверей, за которой точно находится козел». Он открывает дверь 2, и там действительно козел. После этого он спрашивает вас — не хотите ли вы изменить свой выбор и предпочесть дверь номер 3? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

🐐 Большинство людей предпочитают выбор не менять, поскольку считают, что обнаружение козла за дверью 2 в равной степени повышает шансы как двери 1, так и двери 3 на то, что там автомобиль.

🚗 Но это неверное рассуждение. Ведущий предупредил, что откроет одну из не выбранных вами дверей, а значит, информацию вы получили только про них, но не про дверь 1.

🔮Чтобы это понять, можно зайти с другой стороны. Стратегия «не менять» поможет тогда и только тогда, когда вы с самого начала выбрали дверь с автомобилем, сами того не зная. Шанс такого угадывания 1/3 (если только вы не экстрасенс). В остальных случаях (то есть в двух ситуациях из трех возможных), приняв предложение ведущего, вы точно выиграете автомобиль.

📌 Эта задача стала знаменитой и даже обыгрывалась в нескольких художественных фильмах о человеческом мышлении, например, в фильме «21» Роберта Лукетича.

А теперь рассмотрим проблему, которая действительно является парадоксом в строгом смысле слова. Это задача «двух конвертов», которая стала известна благодаря математику Мартину Гарднеру. Она не имеет однозначного решения и указывает на фундаментальные пробелы в аксиоматике теории вероятностей и на недоопределенность ее интерпретации.

✉️ Парадокс двух конвертов. Представьте, что вам и еще одному случайному человеку предлагают сыграть в простую игру. Вам раздали два внешне неразличимых конверта с деньгами. Известно, что в одном из них сумма в 2 раза больше чем в другом. Величина суммы при этом не оглашается. То есть, открыв свой конверт, вы знаете, сколько в нем денег (допустим, Х), но не знаете, какая сумма в конверте у вашего соперника — либо 2Х, либо Х/2. Вы должны решить: хотите ли вы обменять свой конверт на конверт соперника?

💵 Оба игрока рассуждают следующим образом. С вероятностью 50/50 у соперника может быть как 2Х, так и Х/2. Если повезет, я выиграю +Х. Если не повезет, потеряю -Х/2. Таким образом, ожидаемая полезность от обмена больше, чем от сохранения status quo. Значит, надо меняться! Но здесь явно что-то не так. Ведь не может быть, чтобы обмен был выгоден обоим игрокам.

⁉️ Где же ошибка в их рассуждениях? На этот вопрос до сих пор нет однозначного ответа.

🏆 Некоторые исследователи считают, что неверно было с самого начала устанавливать вероятность выигрыша и проигрыша как 50/50. Это слишком субъективный взгляд на вероятности — на самом деле, распределение шансов здесь другое, причем игроки не могут никак заранее узнать, какое именно — это зависит от того, чем закончится обмен.

🎲 Другие говорят, что при таком подходе мы теряем сам смысл понятия вероятности — если мы не можем пользоваться этим понятием до принятия решения, а узнаем его величину только после, то какой в нем вообще толк?

🧠 Этот спор вполне философский. Он касается важной проблемы — обладаем ли мы такой свободой воли, которая позволяла бы нам при этом принимать наиболее рациональные решения, или рациональность выбора не всегда совместима с его свободой?