angle-down facebook instagram vkontakte warning

Пифагореизм

Пропорции и золотое сечение

Математические открытия Пифагора изменили живопись, музыку и архитектуру. В этой части узнаем, благодаря чему это произошло.

Это часть интерактивных уроков, подготовленных образовательной платформой Level One в сотрудничестве с крупнейшими российскими экспертами.
Еще 500 уроков по 15 направлениям, от истории и архитектуры до здоровья и кулинарии на levelvan.ru/plus
посмотреть все уроки
Автор урока
Виктор Горбатов
Тренер по аргументации и критическому мышлению, сооснователь Свободного университета, автор 30 научных статей и 2 учебных пособий по логике

Пифагорейцы рассматривали числа наглядным, геометрическим образом. Они выделяли треугольные, квадратные, пятиугольные, кубические, пирамидальные числа.

🤔 Согласно источникам, при обучении арифметике они выкладывали все изучаемые числа камушками на песке, чтобы лучше понять их математические свойства через геометрию их различных сочетаний. Объемные числа (кубические, пирамидальные) стали использоваться позже, потому что их труднее расположить наглядно.

Визуально представляя свойства этих чисел, пифагорейцы сумели доказать некоторые важные теоремы 👇

🔹 Любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел: 9 = 6 + 3, 16 = 10 + 6 и т. д.

🔹 Разность идущих друг за другом квадратных чисел (то есть полных квадратов) равна нечетному числу: 4 – 1 = 3, 9 – 4 = 5 и т. д.

🌠 Возможно, что пифагорейское представление о фигурных числах было основано на наблюдении созвездий, которые отличаются друг от друга именно формой, образуемой звездами. В таком виде им было легче понять математические свойства и символический смысл созвездий.

🏛 В философском плане учение о фигурных числах хорошо иллюстрирует идею Шпенглера о том, что главным символом античной культуры является статуя — объемное, материально-телесное выражение чего-то нематериального. Также здесь можно видеть подтверждение его мысли о том, что эта культура была «аполлонической» — в ней господствует стремление представить весь мир как проявление разумных принципов и пропорций.

1. Квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел
2. Треугольные числа
3. Квадратные числа
4. Пирамидальные числа
5. Кубические числа

Телеграм-канал
Level One

Вдохновляющие посты, новые запуски и подарки только для подписчиков

подписаться

В философском плане тот факт, что все состоит из чисел, имеет свое логическое следствие — мир полон разнообразных соотношений между числами. Некоторые из них случайны и некрасивы, но многие — закономерны и выражают внутреннюю гармонию мира. Такие соотношения греки называли гармоничными, позже за ними закрепилось латинское название «пропорция» («соразмерность», «выравненность»).

💡 Как были открыты пропорции? Согласно легенде, однажды Пифагор прогуливался по городу и, проходя мимо кузницы, услышал звон кузнечных молотов. Интервал между звуками, которые издавали два молота разного веса, показался ему мелодичным, и, расспросив кузнецов, он узнал, что веса этих молотов относились один к другому как целые числа — 2 к 1, 3 к 2, 5 к 4 и так далее.

🎼 Пропорции в музыке. Пифагор стал экспериментировать со струнами и обнаружил, что высоты звуков, которые издают струны, точно так же соотносятся с длиной, как вес молотов с высотой звука от удара. Струна, что короче другой вдвое, звучит вдвое выше. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие «тетрактис» 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4. Позже эти музыкальные интервалы получили латинские названия: 2:1 (октава), 2:3 (квинта), 3:4 (кварта).

💧 Вся физика — это музыка. Что удивительно, те же самые пропорции пифагорейцы обнаружили между первоэлементами (важно помнить, что каждому первоэлементу соответствует свое число — число его граней). Огненный тетраэдр (4) в соотношении с воздушным октаэдром (8) дает октаву, земляной куб (6) в соотношении с воздушным октаэдром (8) — кварту и т.д. Получилось, что вся физика — это, по сути, музыка.

Пифагорейцы построили свою классификацию пропорций 👇

1️⃣ Арифметическая пропорция [A - B = В - С] образуется последовательным добавлением одного и того же натурального числа: 1–2–3…

2️⃣ Геометрическая пропорция [А:В = В:С] образуется последовательным умножением на одно и то же натуральное число: 1–2–4...

3️⃣ Гармоническая пропорция [A:B = B(A-B)] образуется умножением на одну и ту же дробь (то есть второе число в ней составляет такую же часть первого, какую третье составляет от второго).

🌟 Поскольку гармоническая пропорция самая прекрасная из всех, позже, благодаря Леонардо да Винчи, за ней закрепилось название «золотое сечение». Проще всего увидеть золотое сечение, построив пентаграмму. Неслучайно пентаграмма была символом пифагорейского союза. К тому же пентаграмма выражает единство пяти элементов: земли, воды, огня, воздуха и эфира.

Пентаграмма — символ пифагорейского союза

Древние греки впервые стали осознанно и массово применять золотое сечение в искусстве — музыке, живописи, скульптуре, архитектуре.

👌🏼 Они рано обнаружили связь золотого сечения с пропорциями человеческого тела. Примером может служить «Дорифор» Поликлета — скульптура, воплощающая так называемый канон, систему строгих числовых соответствий между ростом человека, высотой головы, длиной конечностей, шеи, расстоянием от пупка до подключичной ямки и т.д. Поликлет делил человеческое тело на 8 частей, поэтому не все соотношения он сумел выразить точно, и не все они соответствовали золотому сечению.

📕 Позже чуть более точно красоту человеческого тела в математических формулах сумел выразить древнеримский скульптор Витрувий, подробно описав их в своем трактате. Он делил рост человека на 6 и 7 частей:

«Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями: длина четырех пальцев равна длине ладони, четыре ладони равны стопе, шесть ладоней составляют один локоть, четыре локтя — рост человека. Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. Если вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок. Пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник. Длина вытянутых рук будет равна росту. Расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста. Наибольшая ширина плеч — восьмая часть роста. Расстояние от локтя до кончиков пальцев — 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки — 1/8».

🏆 Самый значительный шаг в этом направлении совершил Леонардо да Винчи, поделив рост человека на 60 частей, он создал гравюру «Витрувианский человек».

1. Поликлет. Дорифор (Копьеносец), между 450 и 440 гг. до н. э.

1. Леонардо да Винчи. Витрувианский человек, в 1490–1492 гг.

Памятники древнего искусства, в которых присутствует золотое сечение 👇

🔹 Пирамида Хеопса

🔹 Рельеф, изображающий фараона Рамзеса

🔹 Фасад древнегреческого Парфенона

Доводилось ли вам встречать золотое сечение в произведениях искусства?

курс Level One
Философия для жизни: как найти опору в сложные времена

Практический курс из 4 лекций о том, как сохранить себя в стремительно меняющемся мире. С помощью многовекового опыта философов научимся справляться с событиями современности и искать силы и поддержку в самом себе. Курс поможет задуматься о смысле жизни, примириться с абсурдом и посмотреть в лицо своим страхам.

Сегодня можно купить со скидкой 50%
2900₽ 1450₽
подробнее о курсе
образовательный проект level one
Начните разбираться
в сложных
темах
с самыми вдохновляющими экспертами
Только проверенные лекторы
23 тысячи отзывов
на лекции и практикумы
Вам понравится
4,9 из 5,0
средний рейтинг лекции
Есть из чего выбрать
До 10 разных
вебинаров в день
;